OPTIMIZACIÓN: Programación lineal
Buen dia a todos. La información aqui mostrada es una compilación extraida de:
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/
http://www.ditutor.com/programacion_lineal/programacion_lineal.html
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La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a través del cual se resuelven situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal.
Los resultados y el proceso de optimización se convierten en un respaldo cuantitativo de las decisiones frente a las situaciones planteadas. Decisiones en las que sería importante tener en cuenta diversos criterios administrativos como:
- Los hechos
- La experiencia
- La intuición
- La autoridad
COMO RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL?
El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son:
- Función Objetivo
- Variables
- Restricciones
El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:
LA FUNCIÓN OBJETIVO
La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Sí en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.
.
f(x,y) = ax + by.
LAS VARIABLES DE DECISIÓN
Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión son en teoría factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema.
LAS RESTRICCIONES
Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión. La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipotético en el que decidiéramos darle un valor infinito a nuestras variables de decisión, por ejemplo, ¿qué pasaría sí en un problema que precisa maximizar sus utilidades en un sistema de producción de calzado decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos surgirían múltiples interrogantes, como por ejemplo:
- Con cuánta materia prima cuento para producirlos?
- Con cuánta mano de obra cuento para fabricarlos?
- Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto?
- Podría mi fuerza de mercadeo vender todos los zapatos?
- Puedo financiar tal empresa?
Pues bueno, entonces habríamos descubierto que nuestro sistema presenta una serie de limitantes, tanto físicas, como de contexto, de tal manera que los valores que en un momento dado podrían tomar nuestras variables de decisión se encuentran condicionados por una serie de restricciones.
Las restricciones, son expresadas en or inecuaciones lineales:
| a1x + b1y ≤ c1 | |
| a2x + b2y ≤c2 | |
| ... ... ... | |
| anx + bny ≤cn |
Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.
Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso.
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante
pantalones y chaquetas deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de
tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de
algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y
1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la
chaqueta en 40 €.
¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar
el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?
1. Elección
de las incógnitas.
x = número de pantalones
y = número de chaquetas
2. Función
objetivo
f(x,y)=
50x + 40y
3. Restricciones
x + 1.5y ≤ 750 
2x+3y≤1500
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de
las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
asdadasdsa
2x+3y≤1500
